Einfach-Ladegerät : Ladestrom berechnen

Die Schaltung:
- Ein Netztrafo mit Innenwiderstand=0 liefert eine Wechselspannung mit Spitzenwert Û
- Es folgt eine Einweggleichrichtung unter Vernachlässigung der Flusspannung der Diode
- KEIN Siebelko.
- Weiterhin ein Widerstand R
- letztlich eine Akkuzelle mit einer als konstant angenommenen Ladespannung von Ub.

Damit haben wir wohl den simpelsten Akkulader überhaupt.

Wie bestimme ich den Ladestrom, damit ich mit der Kapazität der Zellen dann die Ladezeit ermitteln kann.
Das einfache I=(Û-Ub)/R geht ja deshalb nicht auf, weil der Ladestrom nur für den Teil einer Halbwelle fließt und dazu während dieser Zeit noch variiert.

Was würde das 08-15 DMM hier anzeigen? Den richtigen Wert oder irgendwelche Hausnummern?

Ich habe folgendes probiert:

Probeaufbau mit drei Si-Dioden als Simulation des Akkus (2.1V) unter Einbeziehung der Gleichrichterdiode, 6.2Ohm Ladewiderstand, Trafo mit dieser Last per Oszi 7.4V Û in dieser Halbwelle gemessen. Ein 08-15 DMM über dem Widerstand zeigt 1.54V DC - das wären nach einfacher I=U/R Rechnung 248mA.

Dann habe ich mal ein bisschen gerechnet und komme auf die Formel
$\fedon\mixonIm = 1/R * 1/\pi * Û * cos(x0) mit x0=arcsin(Ub/Û) \fedoff$
setze ich dort ein Û=7.4, Ub=2.1, R=6.2 ergibt sich 364mA.

Hmm geht also mit einfachen DMM nicht direkt zu messen, oder?

Hier mal mein Weg zu der Formel
$\fedon\mixonZuerst betrachte ich die Halbwelle von 0 bis \pi/2 der Funktionsgleichung U(x)=Û*sin (x) Der Ladestrom fließt ab U(x)=Ub. Ich definiere x0, für den gilt U(x0)=Ub Eingesetzt und aufgelöst x0=arcsin(Ub/Û) Die durchschnittliche Spannung Um für den Bereich x0 bis \pi/2 müsste sich aus Um=(1/(\pi/2 - x0)) * int(Û*sin(x),x,0,\pi/2) ergeben. Also mit f(x)=sin(x) Stammfunktion F(x)=-cos(x) Um=(1/(\pi/2-x0))* Û * stammf(-cos(x),0,\pi/2) Um=(1/(\pi/2-x0))* Û * (-cos(\pi/2)- (-cos(x0)) mit cos(\pi/2) = 0 Um=(1/(\pi/2 - x0))* Û * cos (x0) Der mittlere fließende Strom während x0 bis \pi/2 ist dann Imx=Um/R Der mittlere fließende Strom während 0 bis x0 ist 0 Der mittlere fließenden Strom Im4 während 0 bis \pi/2 müsste dann Im4= 1/(\pi/2 - 0) * (Imx*(\pi/2-x0) + 0*x0) sein Also Im4= 2/\pi * (Imx * (\pi/2 - x0)) Im4=2/\pi*(Imx*(\pi/2) - Imx*x0) Oder Im4 = Imx - Imx * ((2*x0)/\pi) Im4 = Imx (1 - ((2*x0)/\pi)) Da der Bereich \pi/2 bis \pi das Spiegelbild von 0 bis \pi/2 ist, übernehme ich die Rechnung von 0 bis \pi/2. Damit: Im2= 1/(\pi-0)* (0*x0 + Imx (\pi/2-x0) + Imx (\pi/2-x0) + 0 *x0) Im2= 1/\pi* 2 * Imx (\pi/2-x0)=Imx-Imx((2*x0)/\pi) Im2 = Imx (1 - ((2*x0)/\pi)) Und damit was zu erwarten war der Mittlere Strom der Halbwelle ist gleich dem Mittleren Strom der Viertelwelle: Im2=Im4 Für die Vollwelle 0 bis 2\pi gilt Stromfluss für 0 bis \pi ist Im2 , für pi bis 2\pi ist 0 demnach Im=1/(2*\pi) * (Im2*\pi + 0*\pi) Im=1/2 * Im2 = 1/2 * Im4 = 1/2 * Imx (1 - ((2*x0)/\pi)) Im = Imx (1/2 - x0/\pi) Eingesetzt Imx=Um/R Im= 1/R * (1/2 - x0/\pi) * (1/(\pi/2 - x0))* Û * cos (x0) Nebenrechnung: (1/2 - x0/\pi) = (\pi/2\pi - 2xo/2\pi) = ((\pi-2*x0)/2\pi) (\pi/2 - x0) = (\pi/2 - 2*x0 / 2) = ((\pi-2*x0)/2) (1/((\pi-2*x0)/2)) = (2/(\pi-2x0)) (((\pi-2x0)/2\pi) * (2/(\pi-2x0))) = (1/\pi) Also Im = 1/R * 1/\pi * Û * cos(x0) Tja nun aber wie komme ich von dieser Frequenz- und Zeitunabhängigen Betrachtung auf die Betrachtung mit 50Hz Netzfrequenz oder Netzfrequenz f ? Es gilt doch allgemein U=Û * sin (2*\pi*f * t) Wenn ich jetzt sage, die obige Berechnung basiert auf der Frequenz 1/(2*\pi), dann würde die allgemeine Formel in die oben benutzte simplifizierte Formel übergehen. Wenn ich nun beweise, dass die mittlere Spannung für die halbe Periode Frequenzunabhängig ist, wäre doch auch bewiesen, dass das Ergebnis der obigen Rechnung Frequenzunabhängig ist, oder? Und aus U=Û * sin (2*\pi*f * t) und T=1/f ergibt sich für 0 bis 1/2*T=1/2f Um= 2f * int(sin(2*\pi*f*t),t,0,1/2f) Substitutionsregel x=2*\pi*f*t dx/dt=2*\pi*f dt=dx/2*\pi*f Um= 2f * 1/(2*\pi*f) * int(sin(x),x,0,(1/2f)*2*\pi*f) Um= 1/\pi * stammf(-cos(x),0,\pi) = 1/\pi * (-1 - (- 1)) = 2/\pi und damit frequenzunabhängig. Also wäre die Formel zur Berechnung des mittleren Ladestrom dieses simplest Laders Im = 1/R * 1/\pi * Û * cos(x0) mit x0=arcsin(Ub/Û) \fedoff$