hihi, da hatte ich auch schon so meine Probleme mit, und hab Sie immer noch
Los, PhyMaLehrer, Proximax und Konsorten

_________________
Nein, Frau Bundeskanzlerin. Dezidiert Nein.

Hallo nabruxas

Im Anhang ist ein Vorlesungsskript.
Bei manchen Gleichungen stimmt die Formatierung nicht mehr.
Muss ich bei Gelegenheit mal reparieren.
Aber O***** von Kleinweich kommt mir dafür aber nicht mehr auf
den Rechner.

MfG
Holger

PDF anzeigen

_________________
George Orwell 1984 ist nichts gegen heute.
Der Überwachungsstaat ist schon da!

Leider lernen die Menschen nicht aus der Geschichte,
ansonsten würde sie sich nicht andauernd wiederholen.

Na ja, wenn man schon persönlich angesprochen wird ...

Da Integrieren sozusagen die Umkehroperation zum Differenzieren ist (so wie z. B. Potenzieren/Wurzelziehen), muß man letzteres zuerst können, um das Integrieren zu verstehen. Und wie meine Mathematiklehrerin sagte: Differenzieren ist ein Handwerk, Integrieren ist eine Kunst! Für das Differenzieren gibt es eine Reihe von Regeln, so daß sich die meisten Funktionen (nach mehr oder weniger ... eher mehr rechnerischem Aufwand) noch relativ einfach differenzieren lassen.
Leider ist das mit der Umkehrfunktion aber gar nicht so. Schon bei ziemlich "einfach aussehenden" Funktionen muß man ganz schöne Klimmzüge machen, um sie in eine Form zu bringen, daß sie sich auf gewisse Grundintegrale zurückführen lassen.
Wie auch immer, um das (schwierigere) Integrieren wirklich verstehen zu können, muß man zunächst das (einfachere) Differenzieren lernen.

Zitat : PhyMaLehrer hat am 25 Sep 2006 01:45 geschrieben :

Wie auch immer, um das (schwierigere) Integrieren wirklich verstehen zu können, muß man zunächst das (einfachere) Differenzieren lernen.

Hm... Weder finde ich Integrieren schwieriger als Differenzieren, noch sehe ich das eine als Voraussetzung des anderen.

Integralrechung ist eigentlich ganz einfach. Man summiert etwas unendlich genau auf.

Stell Dir einen Topf vor, in den 3 Liter Wasser pro Sekunde hineinlaufen. Dann weisst Du, nach einer s sind 3 Liter drin, nach 2 s 6 Liter usw.

Nun kann sich der Zufluss x aendern mit der Zeit. Mathematisch ist dann x eine Funktion der Zeit. Will man herausfinden, wieviel Wasser in einem Zeitraum fliesst, muss man in jedem Augenblick schauen, wieviel Wasser pro Zeit gerade fliesst, diesen Wert mit der Dauer des Augenblicks multiplizieren, und dann weiss man, wieviel Wasser in dem Augenblick geflossen ist. Das macht man mit allen Augenblicken waehrend es interessierenden Zeitraumes und addiert alle Augenblickwerte zusammen, um die Zuflussmenge zu bestimmen.

Je kuerzer die Augenblicke werden, desto mehr Teile muss man addieren und desto genauer wird das Ergebnis. Mit den Methoden der Grenzwertberechung kann man am Ende unendlich viele, unendlich kleine Wassermengen zusammenzaehlen zu einem unendlich genauen Ergebnis.

Analysiert man die Zusammenhaenge genauer, stellt man Gesetzmaessigkeiten zwischen der Funktion, nach der sich der Wasserzufluss aendert und der Funktion, mit der das Volumen im betrachteten Zeitraum zunimmt, fest.

Diese Zusammenhaenge behandelt die Integralrechnung.


_________________
There are more things between 
cathode and anode than are 
dreamt of in your philosophy

[ Diese Nachricht wurde geändert von: caes am 25 Sep 2006  2:40 ]

[ Diese Nachricht wurde geändert von: caes am 25 Sep 2006  2:44 ]

@ high_speed:

Danke!
Das ist aber schon ein Hammer. Ich werde mich mal in aller Ruhe hinsetzen und versuchen das zu begreifen. (Jetzt, in der Mittagspause fehlt mir die Zeit dazu)

@ caes:

Zitat :

Je kuerzer die Augenblicke werden, desto mehr Teile muss man addieren und desto genauer wird das Ergebnis.

Irgendwie erinnert mich das an die Samplingrate oder ist nun das Quantisieren gemeint?!? (z.B.: CD-Player)

_________________
0815 - Mit der Lizenz zum Löten!

@nabruxas,
Du musst ja nicht direkt mit einem Matheskript anfangen, schau mal hier, fast ohne Definitionen und Sätze: http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung

Zitat : nabruxas hat am 25 Sep 2006 14:08 geschrieben :

Irgendwie erinnert mich das an die Samplingrate ...

Da geht es eher um die Wandlung Analog -> Digital(Also nur ums messen). Aber das Unterteilen in viele kleine Stücke haben beide gemeinsam.
(Bestimmte Funktionen lassen sich auf dem Papier nicht einfach integrieren. Um dann z.B. die "Fläche" zu bestimmen, macht man es heute nummerisch mit diesen viele Rechtecken über summieren.)

Zitat :

oder ist nun das Quantisieren gemeint?!? (z.B.: CD-Player)

Eher die.
Bzw. meiner Meinung nach will man eigentlich damit nur den Übergang einer endlichen Summe (von Funktionswerten/Flächenelementen) zu einem unendlich (dichten) Integral motivieren.

Irgendwie muss man ja damit anfangen, ein ganz einfaches "Bild", dass auch noch eine sinnvolle und praxisbezogene Anwendung hat, ist dabei nicht schlecht.

Edit:
Denn das berechnen von "Flächeninhalten" ist nur eine "Anwendung" der Integralrechnung.
Meistens geht es um ganz andere Probleme.
Zum Beispiel (Differential-)Gleichungen lösen, Fourier-Transformation druchführen, um noch bei "noch anschaulichen" Dingen zu bleiben.

[ Diese Nachricht wurde geändert von: BlackLight am 25 Sep 2006 15:50 ]

Zitat : caes hat am 25 Sep 2006 02:38 geschrieben :

Zitat : PhyMaLehrer hat am 25 Sep 2006 01:45 geschrieben : Wie auch immer, um das (schwierigere) Integrieren wirklich verstehen zu können, muß man zunächst das (einfachere) Differenzieren lernen. Hm... Weder finde ich Integrieren schwieriger als Differenzieren, noch sehe ich das eine als Voraussetzung des anderen.

Du bist der erste, den ich kenne, der das behauptet!

Zitat :

Integralrechung ist eigentlich ganz einfach. Man summiert etwas unendlich genau auf.

wenn es doch so einfach wäre!


Das Integrieren ist eine Kunst, wie PhyMaLehrer schon sagte.

Nicht umsonst gibt es nachschlagewerke, wie den Bronstein...


Das Vorlesungsscript von high_speed wird dir sicherlich helfen die ganze Thematik zu verstehen.

Allerdings ist es sehr dilfreich, wenn du differenzieren kannst, und auch verstanden hast, was sich dahinter verbirgt.

MfG

Becky

Zitat : Beckenrandschwimmer hat am 25 Sep 2006 17:19 geschrieben :

> Hm... Weder finde ich Integrieren schwieriger als Differenzieren, noch sehe ich das eine als Voraussetzung des anderen.

Im Ansatz hatte mein Mathelehrer auch sowas gebracht, dass Integrieren und Differenzieren erst einmal nichts miteinander zu tun hatten. Sind aber heute nur durch Zufall, bis auf eine Konstante, die Umkehroperationen.

Solange man per Grezwert integriert, braucht man auch keine Differentialrechnung, aber schon bei dx fängt es an.
(Moment, nur Grenzwert war Ableiten. Hmpf, Egal.)

Das eine schwerer als das Andere, kommt auf das Problem an.
(Ich finde auch sinh(x) (2*n, n € IN) oder (2*n+1, n € IN) mal nach x zu integrieren viel einfacher als ein Polynom abzuleiten, dass länger als eine Seitenbreite ist.)

Hallo nabruxas

Hier jetzt die Kapitel 9 und 10. (Differenzialrechnung)
(Das war mal eine schöne Tipperei.)

Die Formatfehler liegen hauptsächlich bei den geschweiften
Klammern nach unten, um Ausdrücke zusammenzufassen.

MfG
Holger

PDF anzeigen

PDF anzeigen

_________________
George Orwell 1984 ist nichts gegen heute.
Der Überwachungsstaat ist schon da!

Leider lernen die Menschen nicht aus der Geschichte,
ansonsten würde sie sich nicht andauernd wiederholen.

Zitat :

Beckenrandschwimmer schrieb am 2006-09-25 17:19

>Du bist der erste, den ich kenne, der das behauptet!

Aber wir kennen uns doch gar nicht.


>>Integralrechung ist eigentlich ganz einfach. Man summiert etwas unendlich genau auf.

>wenn es doch so einfach wäre!

Nun gut, so wollte ich das nicht verstanden wissen. Oft sind Funktionen natuerlich schwieriger zu integrieren als zu differenzieren. Kurz und gut, das WAS finde ich weniger kompliziert, das WIE unter Umstaenden schon. Das WAS ist in beiden Faellen lediglich ein Grenzwert.


>Allerdings ist es sehr dilfreich, wenn du differenzieren kannst, und auch verstanden hast, was sich dahinter verbirgt.

Wer weiss, vielleicht waere es sogar einfacher zu lernen, wenn man nicht, wie im Matheunterricht ueblich, zuvor die Hucke mit Differentialrechung vollgekriegt haette.

_________________
There are more things between 
cathode and anode than are 
dreamt of in your philosophy

Es entwickelt sich eine gewollte Eigendynamik!

Nur weiter so!
Ich werde mir alles ansehen, schließlich will ich ja etwas lernen!

_________________
0815 - Mit der Lizenz zum Löten!

Zitat : caes hat am 25 Sep 2006 19:39 geschrieben :

Zitat : Beckenrandschwimmer schrieb am 2006-09-25 17:19 >Du bist der erste, den ich kenne, der das behauptet! Aber wir kennen uns doch gar nicht.

Jetzt schon ,und jetzt weißt du auch, wieviele ich "kenne"

Zitat :

Nun gut, so wollte ich das nicht verstanden wissen. Oft sind Funktionen natuerlich schwieriger zu integrieren als zu differenzieren. Kurz und gut, das WAS finde ich weniger kompliziert, das WIE unter Umstaenden schon. Das WAS ist in beiden Faellen lediglich ein Grenzwert.

Ne, klar, es gibt ja auch Fälle, in denen das Integrieren einfacher, als das Differenzieren ist. Ich hab (für mich) nur festgestellt, dass im Studium bei den schwierigsten Knackpunkten das Integrieren immer irgendwie beteiligt war. Stichwort: Laplace-/Z-/T- Transformation; Induzierter Strom/ Magnetfeldbrechnungen;...

Da hab ich dann festgestellt, wie simpel doch die Differenziation ist. (schweres Wort...)

In der Technik spielen jedenfalls beide Rechenarten eine große Rolle.



Becky

Zitat : Beckenrandschwimmer hat am 26 Sep 2006 11:25 geschrieben :

>Jetzt schon ,und jetzt weißt du auch, wieviele ich "kenne"

Big Brother.


>Ich hab (für mich) nur festgestellt, dass im Studium bei den schwierigsten Knackpunkten das Integrieren immer irgendwie beteiligt war. Stichwort: Laplace-/Z-/T- Transformation; Induzierter Strom/ Magnetfeldbrechnungen;...

Gerade bei letzterem fand ich allerdings einen grossen Unterschied. Bekanntermassen gibt es die Feldgleichungen ja in Integralform und in Differentialform. Hier kamen mir die Integralformen einfacher vor, weil man sie sich gut vorstellen kann, waehrend div und rot (Differentialrechnungen im 3D-Raum) eher abstrakt durchgerechnet werden mussten.


>In der Technik spielen jedenfalls beide Rechenarten eine große Rolle.

Auf jeden Fall!



_________________
There are more things between 
cathode and anode than are 
dreamt of in your philosophy