Wie wurde die Batterie getestet? Nur durch messen der Spannung oder unter hoher Last mit einem Batterietester?

Das was du beschreibst klingt nach einer defekten Batterie. Eine intakte Batterie wäre nach einer längeren Fahrt wieder voll geladen.
Mess aber auch mal die Ladespanung, nicht das die zu niedrig ist und der Akku daher nicht voll geladen wird.

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Die Sicherheits- sowie die VDE Vorschriften sind zu beachten, im Zweifelsfalle grundsätzlich einen Fachmann fragen bzw. die Arbeiten von einer Fachfirma ausführen lassen.

Lade mal mit Konstantstrom!

Wenn es das Labornetzteil hergibt, lade mit 4,7 A 14 Stunden. Beobachte dabei die Ladespannung. Normalerweise ist die Ladeschlußspannung 14,4 Volt, daher auch der Tip von Pearl. Geht die Ladespannung ernsthaft hoch, ist die Batterie faul.

Du kannst noch sehr einfach einen Kapazitätstest machen.
Wenn die Batterie voll geladen ist, entlade sie über eine Scheinwerferlampe. H4 hat normalerweise 60 Watt, also 5 A Strom. Dann müßte sie annähernd 10 Stunden leuchten. Passe aber auf bezüglich Tiefenentladung, nicht gesund. Wenn die aber nur zwei Stunden leuchtet, stört die Tiefenentladung auch nicht mehr.

DL2JAS